LV.NOL.2010.12.4 lv
Riņķī ievilkta sešstūra \(ABCDEF\) diagonāles \(AD\), \(BE\) un \(CF\) krustojas vienā punktā. Pierādīt: sešstūra malas var sadalīt \(2\) grupās pa \(3\) malām katrā tā, ka abās grupās iekļauto malu garumu reizinājumi ir vienādi savā starpā.
Atrisinājums
No riņķī ievilktu leņķu īpašībām seko, ka \(\triangle BSC \sim \triangle FSE\). Tāpēc \(\frac{BC}{EF}=\frac{SB}{SF}\).
Līdzīgi pierāda \(\frac{AF}{CD}=\frac{SF}{SD} \quad\) un \(\quad \frac{ED}{AB}=\frac{SD}{SB}\). Sareizinot šīs vienādības, iznāk \(\frac{BC}{EF} \cdot \frac{AF}{CD} \cdot \frac{ED}{AB}=1\), no kurienes \(BC \cdot AF \cdot ED=EF \cdot CD \cdot AB\).