LV.NOL.2010.11.4 lv
Dots, ka \(ABCD\) ir izliekts četrstūris, kas nav paralelograms. Taisne, kas novilkta caur diagonāļu viduspunktiem, krusto malas \(AB\) un \(CD\) attiecīgi iekšējos punktos \(M\) un \(N\). Pierādīt, ka trijstūru \(ABN\) un \(CDM\) laukumi ir vienādi savā starpā.
Atrisinājums
Apzīmējam ar \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) punktu \(A, B, C, D\) projekcijas uz taisnes \(EF\). Tā kā \(\triangle BFB_{1}=\triangle DFD_{1}(h l)\), tad \(BB_{1}=DD_{1}\). Līdzīgi \(CC_{1}=AA_{1}\).
Tāpēc \(L(ABN)=L(AMN)+L(BMN)=\frac{1}{2}MN^{2}\left(AA_{1}+BB_{1}\right)\).
Līdzīgi \(L(CDM)=\frac{1}{2} MN\left(C_{1}+D_{1}\right)\). No tā arī seko vajadzīgais.