LV.NOL.2009.9.3 lv
Divas riņķa līnijas krustojas. To rādiusu garumi ir \(R\) un \(r\), bet attālums starp to centriem ir \(d\). Vienā no abu riņķa līniju krustpunktiem tām abām novilktas pieskares. Pierādīt: šīs pieskares ir perpendikulāras viena otrai tad un tikai tad, ja \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\).
Atrisinājums
Atceramies, ka
(A) pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kura galapunktā tā novilkta,
(B) \(\underline{tātad}\) taisne, kas novilkta perpendikulāri rādiusam tā galapunktā, ir pieskare.
- Pieņemsim, ka \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\). Novelkam rādiusus uz \(r.l.\) krustpunktu \(A\). Tad \(OA^{2}+SA^{2}=OS^{2}\), tātad pēc Pitagora teorēmai apgrieztās teorēmas \(\triangle OAS\) ir taisnleņķa. Tāpēc taisne \(SA\) (pēc augšminētā (B) punkta) ir \(r.l.\ w_{1}\) pieskare, un tāpat taisne \(OA\) ir \(w_{2}\) pieskare. Tātad abas pieskares punktā \(A\) ir savstarpēji perpendikulāras.
- Pieņemam, ka pieskares krustpunktā \(A\) ir savstarpēji perpendikulāras (6.zīm.).
Tā kā \(t \perp l\), tad \(t\) satur \(w_{2}\) rādiusu, tātad iet caur \(S\). Līdzīgi \(1\) iet caur \(O\). Tāpēc \(\Delta OAS\) ir taisnleņķa, un no Pitagora teorēmas seko vajadzīgais.