Dotas \(200\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Puse no tām sver pa \(100\) gramiem katra, puse - pa \(101\) gramu katra. Doti sviras svari bez atsvariem. Jāizveido divas monētu kaudzītes, lai to svari atšķirtos, bet monētu daudzumi tajās būtu vienādi. Ar kādu mazāko svēršanu skaitu Jūs to spējat izdarīt?
(Piezīme. Nav jācenšas pierādīt, ka Jūsu sasniegtais svēršanu skaits ir mazākais iespējamais.)
Pierādīsim, ka pietiek ar \(1\) svēršanu. Uzliekam uz kausiem pa \(67\) monētām. Ja svari nav līdzsvarā, vajadzīgās monētu kaudzītes atrodas uz kausiem. Ja svari ir līdzsvarā, tad par meklējamām kaudzītēm der malā palikušās \(66\) monētas un jebkuras \(66\) monētas no viena svaru kausa. Pierādīsim to.
Tiešām, ja malā palikušās \(66\) monētas kopā sver tikpat, cik \(66\) monētas no \(1.\) kausa, tad šajos komplektos ir vienāds skaits (apzīmēsim to ar \(x\)) "vieglo monētu". Tad uz \(1.\) kausa atrodas vai nu \(x\), vai \(x+1\) "vieglā" monēta (atkarībā no tā, vai \(67\)-ā monēta uz šī kausa ir "smagā" vai "vieglā"). Atbilstoši uz otrā svaru kausa ir vai nu \(x\) , vai \(x+1\) "vieglā monēta" (jo kausi atrodas līdzsvarā). Tātad pavisam vieglo monētu ir vai nu \(2x+x=3x\), vai \(2(x+1)+x=3 x+2\). Bet ne vienādojumam \(3x=100\), ne vienādojumam \(3x+2=100\) nav atrisinājuma veselos skaitļos. Iegūta pretruna, tātad mūsu pieņēmums nepareizs un malā palikušo monētu svars noteikti atšķiras no \(1.\) kausa jebkuru \(66\) monētu kopējā svara. Tieši tāpat pierāda, ka malā palikušo monētu kopējais svars noteikti atšķiras no \(2.\) kausa jebkuru \(66\) monētu kopējā svara.
Skaidrs, ka pavisam bez svēršanas prasītās monētu kaudzītes atrast nevar. Tātad meklējamais minimums ir \(1\).