Dots, ka \(p\) ir pirmskaitlis un \(n=\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-4\right)+9\). Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) ciparu summa? Kuriem \(p\) tā tiek sasniegta?
Ja \(p=2,\ n=9\); ja \(p=3,\ n=49\); ja \(p=5,\ n=513\). Pieņemsim, ka \(p>5\). Tad \(n=(p-2)(p-1)(p+1)(p+2)+9\) un \(p-2;\ p-1;\ p;\ p+1;\ p+2\) ir \(5\) pēc kārtas ņemti naturāli skaitļi, tāpēc viens no tiem dalās ar \(5\). Tā kā \(p>5\), tad tas nav \(p\); tāpēc \(\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-4\right)\) dalās ar \(5\). Skaitlis \(p^{2}-1\) ir pāra, tāpēc \(\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-4\right)\) dalās ar \(10\). Tāpēc \(\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-4\right)+9\) pēdējais cipars ir \(9\). Tā kā pie \(p>5\) iznāk \(n>10\), tad ir vēl citi cipari bez pēdējā, tāpēc ciparu summa ir lielāka par \(9\). Tātad mazākā iespējamā \(n\) ciparu summa ir \(9\), un tā tiek sasniegta pie \(p=2\) un \(p=5\).