LV.NOL.2008.9.2 lv
Trijstūrī \(ABC\) ar \(h_{a}\), \(h_{b}\) un \(h_{c}\) apzīmēti to augstumu garumi, kas vilkti attiecīgi no virsotnēm \(A,\ B,\ C\). Dots, ka \(h_{a} \geq 3, h_{b} \geq 4, h_{c} \geq 5\).
Kāds ir mazākais iespējamais \(\triangle ABC\) laukums?
Atrisinājums
Saskaņā ar teorēmu par slīpnes un perpendikula garumu \(CA \geq h_{c} \geq 5\). Tāpēc \(L(ABC)=\frac{1}{2} AC \cdot h_{b} \geq \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4=10\). Vērtība \(L(ABC)=10\) tiek sasniegta, piemēram, taisnleņķa trijstūrī \(ABC\), kur \(AB=4;\ AC=5;\ \sphericalangle A=90^{\circ}\). Šis trijstūris apmierina uzdevuma nosacījumus: \(h_{b}=AB=4, h_{c}=AC=5, h_{a}=\frac{AB \cdot AC}{BC}=\frac{4 \cdot 5}{\sqrt{41}}=\sqrt{\frac{400}{41}}=\sqrt{9 \frac{31}{41}}>\sqrt{9}=3\) (skat. 4.zīm.)
