Atrisinājums

Tā kā \(|\cos t| \leq 1\), tad \(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)-\cos (xy) \leq 1+1-(-1)=3\). Lai pierādītu stingro nevienādību, jāpierāda, ka nevar vienlaicīgi būt \(\cos x^{2}=1, \cos y^{2}=1, \cos (x y)=-1\). Pieņemsim pretējo. Tad \(x^{2}=2 \pi n, y^{2}=2 \pi k, x y=\pi(2l+1), n, k, l \in Z\). No tā seko, ka \(x^{2}y^{2}=4 \pi^{2} nk\) un \((xy)^{2}=\pi^{2} \cdot(2l+1)^{2}\). No tā seko, ka \(4nk=(2l+1)^{2}\) Bet pāra skaitlis nevar būt vienāds ar nepāra skaitli - pretruna.