Apzīmējam \(f(n)=1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n},\ n=1; 2; 3; \ldots\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties skaitlis \(f(n)\)?
Viegli aprēķināt, ka \(f(1)=10,\ f(2)=30,\ f(3)=100\). Pierādīsim, ka pie \(n>3\) skaitlis \(f(n)\) nedalās ar \(1000\). Tad būs skaidrs, ka uzdevuma atbilde ir "ar \(2\) nullēm".
Pie \(n>3\) skaitļi \(2^{n}\) un \(4^{n}\) dalās ar \(8\), bet \(1^{n}=1\). Savukārt \(3^{n}\), dalot ar \(8\), pārmaiņus dod atlikumus \(3\) un \(1\): pie nepāra \(n\), \(n=2k+1\), iegūstam \(3^{n}=3^{2k+1}=3 \cdot 9^{k}=3 \cdot(8+1)^{k}=3 \cdot(8Q+1)=24Q+3\), bet pie pāra \(n\), \(n=2k\), iegūstam \(3^{n}=3^{2k}=9^{k}=(8+1)^{k}=8P+1(Q, P \in \mathbf{Z})\). Tāpēc summa \(f(n)\) dod atlikumu \(4\) vai \(2\), dalot ar \(8\); tāpēc nedalās ar \(8\); tāpēc tā nedalās ar \(1000\).