Dots, ka \(x\) un \(y\) - reāli skaitļi. Pierādīt, ka \(\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right) \geq x\left(1+y^{2}\right)+y\left(1+x^{2}\right)\).
Vispirms reizināsim nevienādības abas puses ar \(2\). Tālāk nevienādības pareizība seko no identiskiem pārveidojumiem:
\[\begin{aligned} & 2\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)-2 x\left(1+y^{2}\right)-2 y\left(1+x^{2}\right)= \\ & =\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)-2 x\left(1+y^{2}\right)+\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)-2y\left(1+x^{2}\right)= \\ & =(1-x)^{2}\left(1+y^{2}\right)+(1-y)^{2}\left(1+x^{2}\right) \geq 0 \end{aligned}\]