LV.NOL.2007.12.5 lv
Kvadrāts sastāv no \(12 \times 12\) rūtiņām, kas izkrāsotas melnas un baltas šaha galdiņa kārtībā. Ar vienu gājienu var izvēlēties divas rūtiņas, kam ir kopīga mala, un pārkrāsot tās: melnu - par sarkanu, sarkanu - par baltu, baltu - par melnu. Ar kādu mazāko gājienu skaitu var panākt, lai vienlaicīgi visas sākotnēji melnās rūtiņas būtu baltas, bet visas sākotnēji baltās rūtiņas - melnas?
Atrisinājums
Atbilde: ar \(144\) gājieniem.
Risinājums. Sākumā ir \(72\) melnas rūtiņas. Lai melnu rūtiņu pārveidotu par baltu, tās krāsa jāmaina divas reizes. Tā kā sākotnēji melnajām rūtiņām nav kopīgu malu, tad ar vienu gājienu var skart tikai vienu sākotnēji melno rūtiņu. Tāpēc nepieciešami vismaz \(72 \cdot 2=144\) gājieni.
Parādīsim, ka ar \(144\) gājieniem pietiek. Sadalīsim kvadrātu \(24\) taisnstūros ar izmēriem \(2 \times 3\) rūtiņas. Sākotnēji katram no tiem ir viens no krāsojumiem, kas redzami 9.zīm.:
Ar \(6\) gājieniem vienu taisnstūri var pārveidot vajadzīgajā formā:
Tātad pavisam pietiek ar \(24 \cdot 6=144\) gājieniem.