LV.NOL.2007.10.2 lv
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām, \(n \geq 3\). Pierādīt, ka katru rūtiņu var nokrāsot baltu, melnu vai sarkanu tā, lai izpildītos īpašība: katrai rūtiņai \(x\) eksistē tādas divas kaimiņu rūtiņas \(y\) un \(z\), ka \(x\), \(y\) un \(z\) visas nokrāsotas dažādās krāsās. (Divas rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopēja mala.)
Atrisinājums
Pie nepāra \(n\) to var izdarīt, piemēram, šādi: \(2; 4; 6; \ldots\) rindās visas rūtiņas nokrāso melnas, bet pērējās rindās visas rūtiņas nokrāso šādi: \(1.\) rindā \(bsbs\ldots\), \(3.\) rindā \(sbsb\ldots\), \(5.\) rindā \(bsbs\ldots\), \(7.\) rindā \(sbsb\ldots\) utt. Pie \(n=4\) var būt, piemēram, 3.zīm.
Ja \(n\) - pāra skaitlis, kas dalās ar \(4\), kvadrātu sadala \(4 \times 4\) rūtiņu kvadrātos un izmanto 3.zīm. redzamo krāsojumu.
Ja \(n\) - pāra skaitlis, kas nedalās ar \(4\), kvadrātu sadala četros vienādos kvadrātos ar nepāra skaitu rūtiņu katrā un izmanto sākumā minēto krāsojumu.