Apskatām visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(200\) ieskaitot.
(A) vai no tiem var izvēlēties \(101\) skaitli tā, lai neviens izvēlētais skaitlis nebūtu divu citu izvēlēto skaitļu starpība?
(B) vai tā var izvēlēties \(102\) skaitļus?
(A) jā; piemēram, izvēlamies skaitļus no \(100\) līdz \(200\) ieskaitot.
(B) nē. Apzīmēsim izvēlētos skaitļus ar \(x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{102}\). Apskatīsim arī skaitļus \(x_{1}+x_{2}; x_{1}+x_{3}; \ldots; x_{1}+x_{102};\) pavisam mums ir \(203\) skaitļi. Tie visi nav mazāki par \(x_{1}\) un nav lielāki par \(x_{1}+x_{102}\); šajā intervālā ir \(\left(x_{1}+x_{102}\right)-x_{1}+1=x_{102}+1 \leq 201\) skaitlis. Tā kā \(203>201\), tad divi no apskatāmajiem skaitļiem ir vienādi savā starpā. Skaidrs, ka var būt tikai \(x_{i}=x_{1}+x_{j}\), no kurienes seko \(x_{1}=x_{i}-x_{j}\).