Kuriem pirmskaitļiem \(p\) piemīt īpašība: skaitlim \(p^{2}+11\) ir mazāk nekā \(11\) naturālu dalītāju?
Pārbaude parāda, ka der \(p=2;\ 3;\ 5\) un neder \(p=7;\ p=11\). Pieņemsim, ka \(p>11\). Ja \(p=3k+1\), tad \(p^{2}=9k^{2}+6k+1\); ja \(p=3k+2\), tad \(p^{2}=9k^{2}+12k+4\). Tātad \(p^{2}+11\) dalās ar \(3\). Bez tam \(p\) ir nepāra skaitlis, \(p=2q+1\); tāpēc \(p^{2}+11=4q^{2}+4q+12\) dalās ar \(4\). Tāpēc \(p^{2}+11=12a\), kur \(a \geq 12\) (jo \(p^{2}+11>11^{2}+11=12 \cdot 11\)). Šim skaitlim ir vismaz \(11\) dažādi dalītāji \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6;\ 12;\ 2a;\ 3a;\ 4a;\ 6a;\ 12a\). Tātad šie \(p\) neapmierina uzdevuma prasības.