Atrisinājums

\(\underline{Atbilde:}\) nē, neeksistē.

\(\underline{Risinājums.}\) No sešiem skaitļiem \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\), saskaitot tos pa \(2\), iegūst \(15\) summas: \(a+b,\ a+c,\ a+d,\ a+e,\ a+f,\ b+c,\ b+d,\ b+e,\ b+f,\ c+d,\ c+e,\ c+f,\ d+e,\ d+f,\ e+f\). Pieņemsim, ka iegūtie skaitļi ir visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(15\) ieskaitot. Tad visiem skaitļiem \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) jābūt dažādiem. Varam pieņemt, ka \(a<b<c<d<e<f\). Skaidrs, ka vismazākā summa ir \(a+b\), otrā mazākā summa ir \(a+c\), vislielākā summa ir \(e+f\), otrā lielākā summa ir \(d+f\). Tāpēc \(a+b=1,\ a+c=2,\ d+f=14,\ e+f=15\). Tātad \((a+c)-(a+b)=1=(e+f)-(d+f)\), no kurienes seko \(c-b=e-d\) un \(c+d=b+e\). Bet tad ne visas \(15\) pāru summu skaitliskās vērtības ir dažādas, tātad šīs summas nevar pieņemt visas naturālās vērtības no \(1\) līdz \(15\) ieskaitot.