Atrast mazāko tādu naturālu skaitli \(n\), \(n>1\), ka katram veselam \(x\) skaitlis \(x^{n}-x\) dalās ar \(10\).
Pie \(n=2;\ n=3;\ n=4\) redzams, ka \(2^{n}-2\) nedalās ar \(10\). Ievērojam, ka
\[\begin{aligned} x^{5}-x & =x\left(x^{4}-1\right)=x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4+5\right)= \\ & =x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)+5 x\left(x^{2}-1\right)= \\ & =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)+5(x-1)x(x+1) \end{aligned}\]
Tā kā 1) vai nu \(x\), vai \(x-1\) ir pāra skaitlis, 2) viens no pieciem pēc kārtas ņemtiem veseliem skaitļiem \(x-2;\ x-1;\ x;\ x+1\); \(x+2\) dalās ar \(5\), tad katrs saskaitāmais dalās gan ar \(2\), gan ar \(5\). Tā kā \(LKD(2; 5)=1\), no tā seko, ka abi saskaitāmie dalās ar \(2 \cdot 5=10\). Tātad mazākā \(n\) vērtība ir \(5\).