Atrisinājums

Mazākais iespējamais iegūtais punktu skaits ir 1, bet lielākais ir \(11 \frac{1}{2}\), tātad dalībnieka punktu skaits var pieņemt 22 vērtības \(\left(1,1 \frac{1}{2}, 2,2 \frac{1}{2}, \ldots, 11,11 \frac{1}{2}\right)\).

(A) Jā. Pieņemsim pretējo, ka katrs iespējamais punktu skaits ir ne vairāk kā 2 dalībniekiem, tad kopā festivālā varēja piedalīties ne vairāk kā \(2 \cdot 22=44\) dalībnieki - pretruna.

(B) Jā. Pien̦emsim pretējo, ka katrs iespējamais punktu skaits ir ne vairāk kā 3 dalībniekiem. Tā kā dots, ka dalībnieku skaits ir \(64\), tad tiešas pretrunas ar Dirihlē principu nav, mums varētu būt pat \(22 \cdot 3=66\) dalībnieki. Pretruna šeit ir nedaudz sarežḡītāka un balstās uz to, ka, ja katrā grupā ieliek \(3\) dalībniekus, tad dalībnieku kopējais punktu skaits sanāk "nobīdīts uz augšu" (jo mums iztrūkst grupa, kas ieguvusi \(\frac{1}{2}\) punktu). Aplūkosim dalībnieku kopējo iegūto punktu summu. No vienas puses katrs no \(64\) dalībniekiem izspēlēja \(12\) partijas, tātad kopējais izspēlēto partiju skaits ir \(\frac{64 \cdot 12}{2}=384\). Tā kā katrā partijā kopā tika izspēlēts viens punkts, tad visi dalībnieki kopā ir ieguvuši tieši 384 punktus. No otras puses zināms, ka katrā iespējamajā punktu grupā bija ne vairāk kā 3 dalībnieki. Ja mēs tos saliekam pa grupām tā, lai to kopējā punktu summa būtu mazākā iespējamā (acīmredzami, ka, lai to izdarītu, katrā no 21 mazākajām grupām jāliek \(3\) dalībnieki, bet lielākajā \(11 \frac{1}{2}\) punktu grupā \(1\) dalībnieks), tad iegūstam, ka mazākā iespējamā dalībnieku kopējā punktu summa ir

\[3 \cdot 1+3 \cdot 1 \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \frac{1}{2}+ \ldots + 3 \cdot 11+1 \cdot 11 \frac{1}{2}=389 \frac{1}{2}.\]

Iegūta pretruna.