Dots trijstūris, kura malu garumi ir \(a, b\) un \(c\). Pamatot, ka ir spēkā nevienādība
\[a+b+c > \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}.\]
Tā kā \(a, b\) un \(c\) un ir trijstūra malas garumi, tad zināms, ka ir spēkā trijstūra nevienādība, tas ir, \(a+b>c\). Pie tam abām, pusēm pieskaitot \(c\), iegūstam \(a+b+c>2 c\). Ja abas nevienādības puses pareizina ar \(c\), tad iegūstam nevienādību \(c(a+b+c)>2 c^{2}\). Līdzīgi rīkojoties, varam iegūt arī nevienādības \(a(a+b+c)>2 a^{2}\) un \(b(a+b+c)>2 b^{2}\), ja attiecīgi sākam ar \(b+c>a\) un \(a+c>b\). Saskaitot visas trīs nevienādības, iegūsim
\[(a+b+c)(a+b+c)>2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\]
jeb\[(a+b+c)^{2}>2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\]
Tā kā abās nevienādības pusēs ir pozitīvas izteiksmes, tad varam vilkt kvadrātsakni, iegūstot\[|a+b+c|>\sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}.\]
Bet mums zināms, ka \(a, b\) un \(c\) ir pozitīvi skaitli, jo tie veido trijstūra malu garumus, tāpēc iegūstam prasīto nevienādību\[a+b+c>\sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\]