Atrisinājums

(A) Nē, ne vienmēr. Ja pie galda apsēdušies hameleoni, kuru krāsas secīgi ir: sarkans, zaļš, zaḷš, sarkans, zaļš, zaḷš, tad nākošajā minūtē visi hameleoni būs sarkani. Tātad no šī brīža hameleoni var būt tikai sarkani, un hameleonu krāsojumu kombinācija vairs nevar sakrist ar sākotnējo.

(B) Pamatosim, ka šāds brīdis vienmēr iestāsies. Apzīmēsim sarkanās krāsas hameleonus ar vieniniekiem, bet zal̦ās krāsas hameleonus - ar nullēm. Par krāsojumu kombināciju nosauksim šiem numuriem atbilstošo hameleonu krāsu virkni, piemēram, "\(0,0,1,0,1,1,1\) " jeb "zal̦š, zaḷš, sarkans, zal̦š, sarkans, sarkans, sarkans". Ievērosim, ka kopā iespējamas \(2^{7}=128\) krāsojumu kombinācijas. Tādā gadījumā katra hameleona krāsu nākošajā solı̄ varam izteikt kā kongruenču vienādojumu. Ja hameleona abi kaimiņi ir vienā krāsā, tad to summa būs \(0\) pēc moduļa 2. Līdz̄̄gi, ja abi kaimiņi ir pretējās krāsās, tad to summa ir vienāda ar 1 pēc modul̦a \(2\). Tātad attiecīgi hameleona krāsa (skaitlis pēc moduļa 2) nemainās, ja abi kaimiṇi ir vienādā krāsā (pieskaita 0), bet mainās uz pretējo, ja abi kaimiņi ir dažādās krāsās (pieskaita \(1\)). Vispirms pierādīsim, ka no divām dažādām krāsojumu kombinācijām nākamajā minūtē nevar iegūt vienu un to pašu krāsojumu kombināciju. Pien̦emsim pretējo, ka ir divi tādi hameleonu krāsojumi \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}\) un \(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5}, y_{6}, y_{7}\), no kuriem pēc pārkrāsošanās tiek iegūts viens un tas pats krāsojums \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}, z_{7}\). Tad no pārkrāsošanas likumiem varam uzrakstīt vienādojumus:

\[\begin{gathered} z_{1} \equiv x_{7}+x_{1}+x_{2} \equiv y_{7}+y_{1}+y_{2}(\bmod 2), \\ z_{2} \equiv x_{1}+x_{2}+x_{3} \equiv y_{1}+y_{2}+y_{3}(\bmod 2) \\ z_{3} \equiv x_{2}+x_{3}+x_{4} \equiv y_{2}+y_{3}+y_{4}(\bmod 2) \\ z_{4} \equiv x_{3}+x_{4}+x_{5} \equiv y_{3}+y_{4}+y_{5}(\bmod 2) \\ z_{5} \equiv x_{4}+x_{5}+x_{6} \equiv y_{4}+y_{5}+y_{6}(\bmod 2), \\ z_{6} \equiv x_{5}+x_{6}+x_{7} \equiv y_{5}+y_{6}+y_{7}(\bmod 2), \\ z_{7} \equiv x_{6}+x_{7}+x_{1} \equiv y_{6}+y_{7}+y_{1}(\bmod 2) \end{gathered}\]

Saskaitot visus vienādojumus kopā, mēs iegūstam

\[3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}\right) \equiv 3\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}\right) \pmod 2\]

Bet tā kā vienādojums tiek apskatīts pēc modula 2 , tad

\[x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7} \equiv y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7} \pmod 2.\]

No šı̄ kongruenču vienādojuma abām pusēm atnemot \(x_{2}+x_{3}+x_{4} \equiv y_{2}+y_{3}+y_{4}(\bmod 2)\) un arī \(x_{5}+x_{6}+x_{7} \equiv y_{5}+y_{6}+y_{7}(\bmod 2)\), rezultātā iegūstam, ka \(x_{1} \equiv y_{1}(\bmod 2)\). Līdzīgi varam arı̄ iegūt, ka atlikušie hameleoni ir nokrāsoti vienādi, tas ir,

\[\begin{array}{ll} x_{2} \equiv y_{2}(\bmod 2), & x_{5} \equiv y_{5}(\bmod 2), \\ x_{3} \equiv y_{3}(\bmod 2), & x_{6} \equiv y_{6}(\bmod 2), \\ x_{4} \equiv y_{4}(\bmod 2), & x_{7} \equiv y_{7}(\bmod 2) . \end{array}\]

Tātad secinām, ka abi sākotnējie krāsojumi sakrīt jeb esam ieguvuši pretrunu ar to, ka ir divas dažādas krāsojumu kombinācijas, kuras pēc pārkrāsošanās noved pie viena un tā paša krāsojuma. Apzīmēsim hameleonu krāsojumu kombināciju \(i\)-tajā minūtē ar \(k_{i}\) un aplūkosim virkni \(k_{1}, k_{2}, k_{3}, \ldots\). Mūsu mērk̦is ir pierādīt, ka eksistē tāds \(m>1\), ka \(k_{1}=k_{m}\). Tā kā krāsojumu kombināciju skaits ir galīgs (128), tad šajā virknē kāds loceklis noteikti atkārtosies. Aplūkosim pirmo locekli šajā virknē, kas atkārtojas, apzīmēsim to ar \(k_{m}\), bet to, ar kuru tas sakrīt, apzīmēsim ar \(k_{i}\), tas ir, mums ir zināms, ka \(k_{i}=k_{m}\), kur \(i. Pieņemsim pretējo, ka \(i>1\), tas ir, to, ka virkne neatkātojas ar sākotnējo krāsojumu kombināciju. Tādā gadījumā krāsojumu kombināciju \(k_{i}\), var iegūt gan no krāsojumu kombinācijas \(k_{i-1}\), gan no krāsojuma kombinācijas \(k_{m-1}\). Bet tā ir pretruna ar iepriekš pierādīto, ka no divām dažādām krāsojumu kombinācijām nevar iegūt vienu un to pašu rezultāta krāsojuma kombināciju.