Atrisinājums

Vispirms pamatosim, ka šim četrstūrim diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Diagonālu krustpunktu atzīmēsim ar \(O\). Pieņemsim pretējo, tas ir, ka diagonāles nedalās uz pusēm krustpunktā. Tātad, nezaudējot vispārību, pieņemsim, ka \(C O \leq A O\) un \(B O \leq D O\). Atliksim punktus \(C^{\prime}\) un \(B^{\prime}\) attiecīgi uz nogriežņiem \(C A\) un \(B D\), lai \(C O=O C^{\prime}\) un \(B O=O D\) (skatīt 17. att.). Šādi esam izveidojuši paralelogramu \(B C B^{\prime} C^{\prime}\).

Pēc dotā mums zināms, ka \(P_{B O C}=P_{A O D}\). Bet pēc konstrukcijas arı̄ \(P_{B O C}=P_{B^{\prime} O C^{\prime}}\). Tātad iegūstam, ka \(P_{B^{\prime} O C^{\prime}}=P_{A O D}\) jeb

\[B^{\prime} C^{\prime}+O C^{\prime}+O B^{\prime}=A D+A O+D O=A D+O C^{\prime}+C^{\prime} A+O B^{\prime}+B^{\prime} D\]

No šī varam secināt, ka \(B^{\prime} C^{\prime}=A D+C^{\prime} A+B^{\prime} D\). Ja \(C^{\prime} A>0\) un \(B^{\prime} D>0\), tad, atkārtoti pielietojot trijstūra nevienādību, iegūstam:

\[A D+C^{\prime} A+B^{\prime} D>C^{\prime} D+B^{\prime} D>B^{\prime} C^{\prime}\]

bet tas ir pretrunā ar iepriekš secināto, ka \(B^{\prime} C^{\prime}=A D+C^{\prime} A+B^{\prime} D\). Tātad secinām, ka \(A C^{\prime}=D B^{\prime}=0\) jeb \(C O=A O\) un \(B O=D O\). Iegūstam, ka dotajam četrstūrim diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Tātad četrstūris \(ABCD\) ir paralelograms. Lai pamatotu, ka \(ABCD\) ir rombs, atliek parādīt, ka paralelograma \(ABCD\) blakusesošās malas ir vienāda garuma, tas ir, ka \(AB=BC\). Pēc dotā mums ir zināms, ka \(P_{ABO}=P_{BOC}\) jeb \(AB+BO+AO=BC+BO+CO\). Tā kā \(ABCD\) ir paralelograms, tad \(AO=CO\) un varam secināt, ka \(AB=BC\) jeb četrstūris \(ABCD\) ir rombs.