Šaha festivālā piedalījās 95 dalībnieki. Zināms, ka festivāla laikā katrs dalībnieks izspēlēja ne vairāk kā 10 partijas, pie tam, katrs zaudēja vismaz vienā partijā. Katrā partijā uzvarētājs saņēma vienu punktu, zaudētājs \(0\) punktus, bet, ja partija beidzās neizšk̦irti, tad abi spēlētāji saņēma puspunktu. Vai var droši apgalvot, ka festivāla beigās bija vismaz (A) \(5\); (B) \(6\) dalībnieki ar vienādu punktu skaitu?
Mazākais iespējamais iegūtais punktu skaits ir 0, bet lielākais ir 9, tātad dalībnieka punktu skaits var pieņemt \(19\) vērtības \(\left(0, \frac{1}{2}, 1,1 \frac{1}{2}, 2,2 \frac{1}{2}, \ldots, 8 \frac{1}{2}, 9\right)\).
(A) Jā. Pieņemsim pretējo, ka katrs iespējamais punktu skaits ir ne vairāk kā 4 dalībniekiem, tad kopā festivālā varēja piedalīties ne vairāk kā \(4 \cdot 19=76\) dalībnieki - pretruna.
(B) Jā. Pieņemsim pretējo, ka katrs iespējamais punktu skaits ir ne vairāk kā 5 dalībniekiem. Tā kā dots, ka dalībnieku skaits ir 95, tad vien̄̄gais veids, kā tos sadalīt 19 grupās pēc iegūto punktu skaita, lai katrā grupā būtu ne vairāk kā 5 dalībnieki, ir katrā grupā ielikt tieši 5 dalībniekus. Bet šādā gadījumā dalībnieku kopējā iegūtā punktu summa būtu \(5 \cdot\left(0+\frac{1}{2}+1+1 \frac{1}{2}+\ldots+8 \frac{1}{2}+9\right)=427 \frac{1}{2}\), kas nav iespējams, jo kopējai punktu summai jābūt veselam skaitlim (tā kā katrā partijā tiek izspēlēts tieši viens punkts).