Atrisinājums

Pārrakstīsim izteiksmi kā \(m=mn+2mn^{2}-m^{3}n-n\). Tā kā vienādojuma labā puse dalās ar \(n\), tad arı̄ kreisā puse dalās ar \(n\), tātad \(m\) dalās ar \(n\). Analoǵiski, pārveidojot vienādojumu par \(m=m n+2 m n^{2}-m^{3}n-m\), iegūstam, ka \(n\) dalās ar \(m\). Tā kā abi šie skaitlii ir naturāli, tad iegūstam, ka \(n=m\). Vienkāršojot sākotnējo izteiksmi attiecībā pret vienu mainīgo, iegūstam \(n^{4}+2n=n^{2}+2 n^{3}\) jeb \(n\left(n^{3}-2 n^{2}-n+2\right)=0\). Tā kā \(n\) ir naturāls, tad jābūt, ka \(n^{3}-2 n^{2}-n+2=0\) jeb \(n\left(n^{2}-2 n-1\right)=-2\). Tas nozīmē, ka \(-2\) dalās ar \(n\). Tātad \(n\) var būt tikai \(1\) vai \(2\), un varam ievērot, ka abas šīs vērtības apmierina vienādojumu. Secinām, ka ir divi atrisinājuma pāri: \(m=n=1\) un \(m=n=2\).