Atrisinājums

(A) Jā, ir, piemēram, skaitlis \(27\). Tam ir četri dalītāji: \(1\), \(3\), \(9\) un \(27\). Vienīgais dalītājs, kas, dalot ar \(3\), atlikumā dod \(1\), ir atlikums \(1\), kas sastāda \(\frac{1}{4}\) jeb \(25\%\) no dalītājiem.

(B) Jā, eksistē, piemēram, skaitlis \(3 \cdot 2^{24}\). Pamatosim, ka šim skaitlim izpildās prasītā īpašība. Šim skaitlim kopā ir \(50\) dalītāji, jo katru pirmskaitli, veidojot dalītāju, vai nu varam izlaist, vai arī ņemt kādā no pakāpēm, kas nepārsniedz skaitlī ieejošo pakāpi. Tātad reizinātājam \(3\) ir \(2\) izvēles, un reizinātājiem \(2\) ir \(25\) izvēles. Kopā iegūstam \(2 \cdot 25 = 50\) izvēles jeb dalītājus. Puse no šiem dalītājiem ir formā \(3 \cdot 2^a\) un otra puse ir formā \(2^a\), kur \(a \in \{0; 1; 2; \ldots ; 24\}\). Dalītāji formā \(3 \cdot 2^a\) dalās ar \(3\). Noskaidrosim, kuri no dalītājiem formā \(2^a\), dalot ar \(3\), dod atlikumu \(1\). Apskatām divus gadījumus.

• Ja kāpinātājs \(a\) ir pāra skaitlis, tad \(a = 2k\) un tādā gadījumā \(2^a = 2^{2k} = 4^k \equiv 1 \pmod 3\). Tātad visi šie dalītāji, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(1\). Tā kā no \(0\) līdz \(24\) (ieskaitot) ir \(13\) pāra skaitļi, tad arī šādu dalītāju skaits ir \(13\).
• Ja kāpinātājs \(a\) ir nepāra skaitlis, tad \(a = 2k+1\) un tādā gadījumā \(2^a = 2^{2k+1} = 2 \cdot 4^𝑘 \equiv 2 \cdot 1^k \equiv 2 \pmod 3\). Tātad visi šie dalītāji, dalot ar \(3\), dod atlikumu \(2\). To skaits ir \(12\).

Tā kā skaitlim \(3 \cdot 2^{24}\) ir \(50\) dalītāji, tad \(\frac{13}{50} = 26\%\) no tiem atlikumā dod \(1\), dalot ar \(3\).