Atrisinājums

Lai aprēķinātu \(S_{ACE}\) no virsotnes \(A\) novelkam nogriezni, kas paralēls \(BC\) un \(EF\), no \(C\) novelkam nogriezni, kas paralēls \(AB\) un \(ED\), no \(E\) novelkam nogriezni, kas paralēls \(AF\) un \(CD\) (skat. 18.att.). Ja pretējās malas nav vienādi garas, tad veidojas trīs paralelogrami \(ABCI, CDEG\) un \(AFEH\), kā arī trijstūris \(GHI\).

Ievērojam, ka

• \(GH=EH-EG=AF-CD\);
• \(GI=ED-AB\);
• \(HI=BC-EF\).

Tātad \(S_{ACE}=S_{AIC}+S_{CGE}+S_{AHE}+S_{GHI}=\frac{S_{ABCI}+S_{CDEG}+S_{AHEF}}{2}+S_{HGI}=\frac{S_{ABCI}+S_{CDEG}+S_{AHEF}+2S_{HGI}}{2}=\frac{S_{ABCDEF}+S_{HGI}}{2}\).

Lai aprēķinātu \(S_{JKL}\), no \(D\) novelkam nogriezni, kas paralēls \(BC\) un \(EF\), no \(F\) novelkam nogriezni, kas paralēls \(AB\) un \(ED\), no \(B\) nogriezni, kas paralēls \(AF\) un \(CD\) (skat. 19.att.). Ja pretējās malas nav vienādi garas, tad veidojas trīs paralelogrami \(ABLF, BCDJ\) un \(DEFK\), kā arī trijstūris \(JKL\).

Ievērojam, ka

\[\begin{aligned} & \circ \quad K L=F K-F L=E D-A B \\ & \circ \quad J L=A F-C D \\ & \bigcirc \quad J K=B C-E F \end{aligned}\]

Tātad \(\Delta JKL=\Delta GHI\) pēc pazīmes \(\mathrm{mmm}\). Līdz ar to iegūstam, ka

\[S_{BDF}=S_{BDJ}+S_{DFK}+S_{BFL}+S_{JKL}=\frac{S_{ABLF}+S_{BCDJ}+S_{DEFK}}{2}+S_{JKL}=\frac{S_{ABCDEF}+S_{JKL}}{2}=\frac{S_{ABCDEF}+S_{GHI}}{2}=S_{ACE}\]