Zināms, ka trijstūra \(ABC\) leņķus \(\alpha, \beta\) un \(\gamma\) saista sakarība \(\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=2\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir taisnleņķa trijstūris!
Tā kā \(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\), tad
\[\begin{gathered} \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2}\left(180^{\circ}-(\alpha+\beta)\right)=2 \\ \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2}(\alpha+\beta)=2 \\ \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)^{2}=2 \\ \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta+2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta+\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta=2 \\ \sin ^{2} \alpha\left(1+\cos ^{2} \beta\right)+\sin ^{2} \beta\left(1+\cos ^{2} \alpha\right)+2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta=2 \\ \left(1-\cos ^{2} \alpha\right)\left(1+\cos ^{2} \beta\right)+\left(1-\cos ^{2} \beta\right)\left(1+\cos ^{2} \alpha\right)+2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta=2 \end{gathered}\]
\[ \begin{gathered} 1-\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta+1+\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta+2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta=2 -2 \cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta+2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta=0 \\ 2 \cos \alpha \cos \beta(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)=0 \\ 2 \cos \alpha \cos \beta \cos (\alpha+\beta)=0 \end{gathered} \]
Vismaz vienam no reizinātājiem jābūt vienādam ar nulli: 1) \(\cos \alpha=0 \Rightarrow \alpha=90^{\circ}\) (lielākas vērtības neder, jo \(\alpha\) ir trijstūra leņķis); 2) \(\cos \beta=0 \Rightarrow \beta=90^{\circ}\); 3) \(\cos (\alpha+\beta)=0 \Rightarrow \alpha+\beta=90^{\circ} \Rightarrow \gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=90^{\circ}\). Tātad kāds no trijstūra leņķiem ir taisns un trijstūris \(ABC\) ir taisnleņķa.