Četrciparu skaitli \(\overline{abcd}\) sauksim par ekscentrisku, ja neviens tā cipars nav \(0\) un tam ir spēkā vienādība \(\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}\). Piemēram, skaitlis \(1978\) ir ekscentrisks, jo \(19+78=97\). Cik pavisam ir ekscentrisku skaitļu?
Pārrakstot doto sakarību \(\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}\), iegūstam:
\[\begin{gathered} 10 a+b+10c+d=10b+c \\ 10 a+d=9(b-c) \\ \bar{a} \bar{d}=9(b-c) \end{gathered}\]
Esam ieguvuši, ka \(9(b-c)\) ir divciparu skaitlis, tāpēc mazākā \((b-c)\) vērtība ir \(2\). Lielāko \((b-c)\) vērtību iegūst, ja \(b\) vērtība ir lielākā iespējamā, bet \(c\)-mazākā iespējamā, tāpēc lielākā \((b-c)\) vērtība ir \(9-1=8\). Līdz ar to cipara \(a\) vērtības var mainīties no \(1\) līdz \(7\) (jo \(9 \cdot 2=18\) un \(9 \cdot 8=72\)). Apskatām iespējamos gadījumus. | \(\boldsymbol{a}\) | \(\overline{\boldsymbol{a d}}: \mathbf{9}\) | \(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=\overline{\boldsymbol{a d}}: \mathbf{9}\) | lespējamās starpības \((\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\) | | :---: | :---: | :---: | :--- | | \(1\) | \(18\) | \(2\) | \(9-7=8-6=7-5=6-4=5-3=4-2=3-1\) | | \(2\) | \(27\) | \(3\) | \(9-6=8-5=7-4=6-3=5-2=4-1\) | | \(3\) | \(36\) | \(4\) | \(9-5=8-4=7-3=6-2=5-1\) | | \(4\) | \(45\) | \(5\) | \(9-4=8-3=7-2=6-1\) | | \(5\) | \(54\) | \(6\) | \(9-3=8-2=7-1\) | | \(6\) | \(63\) | \(7\) | \(9-2=8-1\) | | \(7\) | \(72\) | \(8\) | \(9-1\) | Tātad kopējais ekscentrisko skaitļu skaits ir \(7+6+\ldots +1=28\). \(\textit {Piezīme.}\) Ekscentriski ir skaitļi: \(1318, 1428, 1538, 1648, 1758, 1868, 1978, 2417, 2527, 2637, 2747, 2857, 2967, 3516, 3626, 3736, 3846, 3956, 4615, 4725, 4835, 4945, 5714, 5824, 5934, 6813, 6923, 7912\).