LV.AMO.2022A.10.5 lv
Pirmo \(n\) skaitļu reizrēķina tabula ir tabula ar \(n\) rindām un \(n\) kolonnām, kurā \(r\)-tajā rindā un \(k\)-tajā kolonnā ierakstīts skaitlis \(r \cdot k\) (visiem \(1 \leq r \leq n\) un \(1 \leq k \leq n\) ). Šī tabula ir izkrāsota šaha galdiņa veidā tā, ka rūtiņa, kas atrodas pirmās rindas pirmajā kolonnā ir nokrāsota melna (15.att. redzams piemērs, kur \(n=5\) ). Iekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summu apzīmēsim ar \(A\), bet neiekrāsotajās ar \(B\). Aprēķiniet \((A-B)\) vērtību (tā var būt atkarīga no \(n\) vērtības).
Atrisinājums
Šķirojam divus gadījumus.
- Ja \(n\) ir pāra skaitlis, tas ir, \(n=2 m\), tad sadalām visu tabulu \(2 \times 2\) rūtiņas lielos kvadrātos. Katra \(2 \times 2\) kvadrāta, kura kreisā augšējā stūra rūtiņa atrodas \(i\)-tās rindas \(j\)-tajā kolonnā (skat. 16.att.), iekrāsotajās un neiekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summu starpība ir
\[ij+(i+1)(j+1)-i(j+1)-(i+1)j=1\]
Tā kā tabula ir sadalīta \(m \cdot m\) kvadrātos ar izmēriem \(2 \times 2\), tad \(A-B=m^{2}=\left(\frac{n}{2}\right)^{2}\).  2. Ja \(n\) ir nepāra skaitlis, tas ir, \(n=2m-1\), tad papildinām tabulu ar nulto rindu un nulto kolonnu, kur katrā rūtiņā ierakstīta \(0\) (tātad tas nemainīs \((A-B)\) vērtību). Analoǵiski iegūstam, ka katrā \(2 \times 2\) rūtiņu kvadrātā iekrāsotajās un neiekrāsotajās rūtiņās ierakstīto skaitļu summu starpība ir \(1\). Tātad \(A-B=m^{2}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\).