Atrisinājums

Lielākais skaits dažādo naturālo skaitļu, ko var izvēlēties, ir \(4\). Piemēram, der skaitļi \(1, 3, 7, 9\), jo jebkuru trīs skaitļu summa ir pirmskaitlis: \(1+3+7=11; 1+3+9=13; 1+7+9=17; 3+7+9=19\). Pierādīsim, ka vairāk kā \(4\) skaitļus izvēlēties nav iespējams.

Pamatosim, ka visiem izvēlētajiem skaitļiem ir jābūt nepāra skaitļiem. Ja būtu vai nu tieši viens, vai tieši divi pāra skaitļi, tad, izvēloties divus nepāra skaitļus un vienu pāra skaitli, summā iegūtu pāra skaitli, kas ir lielāks nekā \(2\), tātad nevar būt pirmskaitlis. Līdzīgi, ja būtu vairāk nekā divi pāra skaitļi, tad, izvēloties tos, summā iegūtu pāra skaitli.

Sadalīsim skaitļus grupās pēc atlikuma, dalot tos ar \(6\). lespējamās atlikumu vērtības ir \(1, 3\) un \(5\) . Ja kādā grupā būtu vismaz \(3\) skaitļi, tad trīs no šīs grupas skaitļiem summā dos skaitļi, kas dalās ar \(3\) un ir lielāks nekā \(3\) - tātad tas nevar būt pirmskaitlis. Līdz ar to nevienā grupā nevar būt vairāk kā divi skaitļi. Ja būtu izvēlēti vairāk nekā \(4\) skaitļi, tad, tā kā ir \(3\) grupas un nevienā grupā nav vairāk kā \(2\) skaitļi, tad katrā no šīm trīs grupām ir vismaz viens skaitlis. Izvēloties no katras grupas pa vienam skaitlim, tie summā dos skaitli, kas dalās ar \(3\) (jo \(1+3+5\) dalās ar \(3\)) un ir lielāks nekā \(3\), tātad nevar būt pirmskaitlis.

Līdz ar to esam pierādījuši, ka vairāk kā \(4\) skaitlus izvēlēties nav iespējams.