Atrisinājums

Pieņemsim, ka klubā ir \(n\) biedri, sakārtosim tos neaugošā secībā pēc to bagātības un apzīmēsim to naudas daudzumus attiecīgi ar \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\), bet to kopējo naudas daudzumu ar \(S\). Tad no šiem apzīmējumiem izriet, ka

• \(a_{1} \geq a_{2} \geq \ldots \geq a_{n}\)
• \(a_{1}=\frac{s-a_{1}}{8}\) jeb \(a_{1}=\frac{s}{9^{\prime}}\)
• \(a_{4}=\frac{s-a_{4}}{11}\) jeb \(a_{4}=\frac{s}{12^{\prime}}\)
• \(a_{n}=\frac{s-a_{n}}{13}\) jeb \(a_{n}=\frac{s}{14}\)

Novērtēsim kopējo naudas daudzumu \(S\) no augšas un no apakšas.

Izmantojot to, ka \(a_{3} \leq a_{2} \leq a_{1}=\frac{s}{9}\) un \(a_{n-1} \leq a_{n-2} \leq \ldots \leq a_{4}=\frac{s}{12}\), iegūstam

\[ \begin{aligned} S & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\cdots+a_{n-1}+a_{n} \leq \\ & \leq a_{1}+a_{1}+a_{1}+a_{4}+a_{4}+a_{4}+\cdots+a_{4}+a_{n}= \\ & =3 \cdot \frac{S}{9}+(n-4) \cdot \frac{S}{12}+\frac{S}{14} \end{aligned} \]

Izmantojot to, ka \(a_{2} \geq a_{3} \geq a_{4}=\frac{s}{12}\) un \(a_{5} \geq a_{6} \geq \ldots \geq a_{n}=\frac{s}{14}\) iegūstam, ka

\[ \begin{aligned} S & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\cdots+a_{n-1}+a_{n} \geq \\ & \geq a_{1}+a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{n}+a_{n}+\cdots+a_{n}+a_{n}= \\ & =\frac{S}{9}+3 \cdot \frac{S}{12}+(n-4) \cdot \frac{S}{14} \end{aligned} \]

Dalot pirmo nevienādību ar \(S\), iegūstam, ka

\[ \begin{gathered} \frac{3}{9}+\frac{n-4}{12}+\frac{1}{14} \geq 1 \\ n-4 \geq 12\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{14}\right)=12-4-\frac{12}{14}=7+\frac{1}{7} \end{gathered} \]

Dalot otro nevienādību ar \(S\), iegūstam, ka

\[ \begin{gathered} \frac{1}{9}+\frac{3}{12}+\frac{n-4}{14} \leq 1 \\ n-4 \leq 14\left(1-\frac{1}{9}-\frac{3}{12}\right)=14-\frac{14}{9}-\frac{7}{2}=9-\frac{1}{18} \end{gathered} \]

Apvienojot šīs nevienādības, iegūstam, ka

\[ 7+\frac{1}{7} \leq n-4 \leq 9-\frac{1}{18} \]

Tā kā \((n-4)\) jābūt naturālam skaitlim, tad vienīgā iespējamā \((n-4)\) vērtība ir \(8\), tātad \(n=12\). Tātad klubā ir \(12\) biedri.