Atrisinājums

Apzīmējam \(x^{2}-nx=a\), tad

• \(x^{2} = a+nx\)
• \(x^{3} = x \cdot x^{2} = x(a+nx) = ax+nx^{2} = ax+n(a+nx) = ax+n^{2}x+an\)
• \(x^{3}-nx = ax+n^{2}x+an-nx = \left(a+n^{2}-n\right)x+an\)

Ja \(a+n^{2}-n \neq 0\), tad \(x=\frac{\left(x^{3}-nx\right)-an}{a+n^{2}-n}\) arī ir racionāls skaitlis.

Aplūkojam situāciju, kad \(a+n^{2}-n=0\), un pierādīsim, ka arī šajā gadīumā \(x\) nevar būt iracionāls.

Ja \(a+n^{2}-n=0\), tad ievietojot \(a\) vietā \(x^{2}-nx\) iegūstam

\[\begin{equation*} x^{2}-nx+n^{2}-n=0 \tag{1} \end{equation*}\]

Ja \(n \geq 2\), tad vienādojumam \((1)\) nav atrisinājuma, jo \(x^{2}-nx+n^{2}-n=\left(x-\frac{n}{2}\right)^{2}+n\left(\frac{3n}{4}-1\right)>0\), ja \(n>\frac{4}{3}\). Atliek aplūkot gadījumu, kad \(n=1\), tad vienādojums \((1)\) ir formā \(x^{2}-x=0\) un tam ir divi atrisinājumi \(x=0\) un \(x=1\), kas abi ir racionāli skaitļi. *Piezīme.* To, ka vienādojumam \((1)\) nav atrisinājuma, var pamatot, aprēķinot diskriminantu, attiecībā pret mainīgo \(x\).