Atrisinājums

Pieņemsim, ka karalienei ir \(n\) dimanti, sakārtosim tos neaugošā secībā pēc to masas un apzīmēsim to masas attiecīgi ar \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\), bet to kopējo masu ar \(S\). Tad no šiem apzīmējumiem izriet, ka

• \(a_{1} \geq a_{2} \geq \ldots \geq a_{n}\),
• \(a_{1}=\frac{s-a_{1}}{6}\) jeb \(a_{1}=\frac{s}{7}\),
• \(a_{3}=\frac{s-a_{3}}{9}\) jeb \(a_{3}=\frac{s}{10}\),
• \(a_{n}=\frac{s-a_{n}}{11}\) jeb \(a_{n}=\frac{s}{12}\).

Novērtēsim kopējo dimantu masu \(S\) no augšas un no apakšas.

Izmantojot to, ka \(a_{2} \leq a_{1}=\frac{S}{7}\) un \(a_{n-1} \leq a_{n-2} \leq \ldots \leq a_{3}=\frac{s}{10}\), iegūstam

\[\begin{aligned} S & =a_{1}+a_{2}+\left(a_{3}+\cdots+a_{n-1}\right)+a_{n} \\ & \leq a_{1}+a_{1}+\left(a_{3}+a_{3}+\cdots+a_{3}\right)+a_{n}= \\ & =2 \cdot \frac{S}{7}+(n-3) \cdot \frac{S}{10}+\frac{S}{12} \end{aligned}\]

Izmantojot to, ka \(a_{2} \geq a_{3}=\frac{s}{10}\) un \(a_{4} \geq a_{5} \geq \ldots \geq a_{n}=\frac{S}{12}\) iegūstam, ka

\[\begin{aligned} S & =a_{1}+a_{2}+a_{3}+\left(a_{4}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}\right) \geq \\ & \geq a_{1}+a_{3}+a_{3}+\left(a_{n}+a_{n}+\cdots+a_{n}\right)= \\ & =\frac{S}{7}+2 \cdot \frac{S}{10}+(n-3) \cdot \frac{S}{12} \end{aligned}\]

Dalot pirmo nevienādību ar \(S\), iegūstam, ka

\[\begin{gathered} \frac{2}{7}+\frac{n-3}{10}+\frac{1}{12} \geq 1 \\ n-3 \geq 10\left(1-\frac{2}{7}-\frac{1}{12}\right)=10-\frac{20}{7}-\frac{5}{6}=6 \frac{13}{42} \end{gathered}\]

Dalot otro nevienādību ar \(S\), iegūstam, ka

\[\begin{gathered} \frac{1}{7}+\frac{2}{10}+\frac{n-3}{12} \leq 1 \\ n-3 \leq 12\left(1-\frac{1}{7}-\frac{1}{5}\right)=12-\frac{12}{7}-\frac{12}{5}=7 \frac{31}{35} \end{gathered}\]

Apvienojot šīs nevienādības, iegūstam, ka

\[6 \frac{13}{42} \leq n-3 \leq 7 \frac{31}{35}\]

Tā kā \((n-3)\) jābūt naturālam skaitlim, tad vienīgā iespējamā \((n-3)\) vērtība ir \(7\), tātad \(n=10\). Tātad karalienei ir \(10\) dimanti.