Atrisinājums

Pamatosim, ka Viļņa virknē \(1000.\) loceklis ir skaitlis \(8\). Tā kā skaitļu secība virknē atkārtojas ik pēc \(8\) skaitļiem un \(1000=8 \cdot 125\), tad \(1000\). loceklis ir tāds pats kā \(8\). loceklis, tas ir, \(8\).

Pamatosim, ka Armanda virknes \(1000.\) loceklis ir skaitlis \(96\). Aprēķinām dažus nākamos virknes locekļus:

• virknes \(2.\) loceklis ir \(24\), jo \(2+0+1=3\) un \(3 \cdot 8=24\);
• virknes \(3.\) loceklis ir \(56\), jo \(2+4+1=7\) un \(7 \cdot 8=56\);
• virknes \(4.\) loceklis ir \(96\), jo \(5+6+1=12\) un \(12 \cdot 8=96\);
• virknes \(5.\) loceklis ir \(128\), jo \(9+6+1=16\) un \(16 \cdot 8=128\);
• virknes \(6.\) loceklis ir \(96\), jo \(1+2+8+1=12\) un \(12 \cdot 8=96\).

Līdz ar to virknes sākums ir \(20;\ 24;\ 56;\ \underline{\mathbf {96};\ 128};\ \underline{\mathbf {96};\ 128};\ \ldots \) Tā kā katrs nākamais virknes loceklis ir atkarīgs tikai no viena iepriekšējā, tad, līdzko parādās kāds šajā virknē jau iepriekš bijis skaitlis, izveidojas periods. Redzam, ka, sākot ar ceturto locekli, virkne ir periodiska: pāra vietās visi locekļi ir \(96\), bet nepāra - \(128\). Tā kā \(1000\) ir pāra skaitlis, tad šajā vietā virknē ir skaitlis \(96\).