Atrisinājums

Ievērojam, ka \(48=2^{4} \cdot 3,54=2 \cdot 3^{3},\ 81=3^{4}\) un \(96=2^{5} \cdot 3\).

Izmantosim formulu pārejai uz citu bāzi \(\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}\). Ņemam \(c=3\) un apzīmējam \(\log _{3} 2=x\). Tad

\[\log _{48} 54=\frac{\log _{3} 54}{\log _{3} 48}=\frac{\log _{3}\left(2 \cdot 3^{3}\right)}{\log _{3}\left(2^{4} \cdot 3\right)}=\frac{\log _{3} 2+3 \log _{3} 3}{4 \log _{3} 2+\log _{3} 3}=\frac{x+3}{4x+1}\]

\[\begin{aligned} \log _{81} 96 & =\frac{\log _{3} 96}{\log _{3} 81}=\frac{\log _{3}\left(2^{5} \cdot 3\right)}{\log _{3}\left(3^{4}\right)}=\frac{5 \log _{3} 2+\log _{3} 3}{4 \log _{3} 3}=\frac{5x+1}{4}=\frac{1}{4}\left(5 \cdot \frac{3-\log _{48} 54}{4 \log _{48} 54-1}+1\right)= \\ & =\frac{1}{4}\left(\frac{15-5 \log _{48} 54+4 \log _{48} 54-1}{4 \log _{48} 54-1}\right)=\frac{14-\log _{48} 54}{16 \log _{48} 54-4} \end{aligned}\]