Atrisinājums

Nē, neeksistē. Ja \(m\) un \(n\) ir dažādas paritātes skaitļi, tad vienādības \(m^{2}-n^{2}=2mn\) kreisajā pusē ir nepāra skaitlis, bet labajā - pāra skaitlis. Tātad \(m\) un \(n\) ir jābūt ar vienādu paritāti (tas ir, abi pāra skaitļi vai abi nepāra skaitļi).

Ja \(m\) un \(n\) ir nepāra skaitļi, tad vienādības kreisajā pusē ir skaitlis, kas dalās ar \(4\) (jo \(m^{2}-n^{2}=(m-n)(n-m)\) un gan \(m-n\), gan \(m+n\) dalās ar \(2\)), bet labajā - skaitlis, kas dalās ar \(2\), bet nedalās ar \(4\). Tātad \(m\) un \(n\) var būt tikai pāra skaitļi.

Apzīmējam \(m=2 m_{1}\) un \(n=2 n_{1}\), tad iegūstam

\[\left(2m_{1}\right)^{2}-\left(2n_{1}\right)^{2}=2 \cdot 2m_{1} \cdot 2n_{1} \quad \Rightarrow \quad 4m_{1}^{2}-4n_{1}^{2}=8m_{1}n_{1}\]

Izdalot abas puses ar \(4\), iegūstam \(m_{1}^{2}-n_{1}^{2}=2m_{1}n_{1}\) jeb esam ieguvuši sākotnējo vienādojumu ar divas reizes mazākām \(m\) un \(n\) vērtībām. Šādu vērtību samazināšanas procesu varam atkārtot, līdz iegūsim, ka kāds no skaitļiem nav pāra skaitlis. Bet tad atrisinājuma nav, tātad arī gadījumam ar abiem pāru skaitļiem atrisinājuma nav. Līdz ar to esam pierādījuši, ka neeksistē tādi naturāli skaitļi \(m\) un \(n\), lai izpildītos dotā vienādība.

Piezīme. 2. atrisinājumā tika izmantota bezgalīgā kritiena metode.