Atrisinājums-3

Apskatām trijstūri \(ABC\) ar malu garumiem \(AB=\sqrt{40},\ BC=\sqrt{53}\) un \(AC=\sqrt{145}\). Novelkam augstumu \(BD\) un apzīmējam \(AD=x\) un \(CD=\sqrt{145}-x\) (skat. 26.att.). Izmantojot Pitagora teorēmu, iegūstam

• \(BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=40-x^{2}\) (no \(\triangle ADB\));
• \(BD^{2}=BC^{2}-CD^{2}=53-(\sqrt{145}-x)^{2}=2x \sqrt{145}-x^{2}-92\) (no \(\triangle BDC\)).

Līdz ar to iegūstam \(40-x^{2}=2x \sqrt{145}-x^{2}-92\) jeb \(x=\frac{66}{\sqrt{145}}\).

Aprēķinām \(BD=\sqrt{40-\left(\frac{66}{\sqrt{145}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40 \cdot 145-66^{2}}{145}}=\sqrt{\frac{4\left(1450-33^{2}\right)}{145}}=\sqrt{\frac{4 \cdot 361}{145}}=\frac{38}{\sqrt{145}}\).

Tātad \(S_{ABC}=\frac{1}{2} AC \cdot BD=\frac{1}{2} \sqrt{145} \cdot \frac{38}{\sqrt{145}}=19\), kas ir naturāls skaitlis.