Doti tādi četri pozitīvi skaitļi \(a_{1},\ a_{2},\ a_{3}\) un \(a_{4}\), ka \(a_{1}a_{3}=a_{2}a_{4}=2017\). Kāda ir mazākā iespējamā izteiksmes \(\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{3}+a_{4}\right)\) vērtība?
Izmantojot nevienādību starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko, iegūstam
\(a_{1}+a_{2} \geq 2 \cdot \sqrt{a_{1}a_{2}}\) un \(a_{3}+a_{4} \geq 2 \cdot \sqrt{a_{3}a_{4}}\)\( Tātad \)\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{3}+a_{4}\right) \geq 2 \cdot \sqrt{a_{1}a_{2}} \cdot 2 \cdot \sqrt{a_{3}a_{4}}=4 \cdot \sqrt{\left(a_{1}a_{3}\right)\left(a_{2}a_{4}\right)}=4 \cdot \sqrt{2017 \cdot 2017}=4 \cdot 2017=8068\( Vienādība tiek sasniegta, piemēram, ja \)a_{1}=a_{2}=2017\( un \)a_{3}=a_{4}=1\(. Tātad dotās izteiksmes mazākā iespējamā vērtība ir \)8068$.