Atrisinājums

Dotā vienādojuma kreisajā pusē ir reizinājums, tāpēc \(x-2a=0\) vai \(x^{2}-(a+1)x+a=0\). Lineārā vienādojuma sakne ir \(x=2a\). Izmantojot Vjeta teorēmu \(\left(x_{1}+x_{2}=a+1\right.\) un \(\left.x_{1} \cdot x_{2}=a\right)\), atrodam kvadrātvienādojuma saknes \(x=1\) un \(x=a\).

Apskatām visus iespējamos gadījumus, kā var būt sakārtotas dotā vienādojuma saknes. Lai noteiktu parametra \(a\) vērtības, izmantosim aritmētiskās progresijas īpašību \(d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\).

1. Ja secība ir \(1;\ a;\ 2a\) (vai \(2a;\ a;\ 1\)), tad jāizpildās vienādībai \(a-1=2a-a\) jeb \(-1=0\). Tā nevar būt, tātad šajā gadījumā saknes nevar veidot aritmētisko progresiju.
2. Ja secība ir \(a;\ 1;\ 2a\) (vai \(2a;\ 1;\ a\)), tad jāizpildās vienādībai \(1-a=2a-1\) jeb \(3a=2\). Tātad \(a=\frac{2}{3}\) un atbilstošā aritmētiskā progresija ir \(\frac{2}{3};\ 1;\ \frac{4}{3}\).
3. Ja secība ir \(a;\ 2a;\ 1\) (vai \(1;\ 2a;\ a\)), tad jāizpildās vienādībai \(2a-1=a-2a\) jeb \(3a=1\). Tātad \(a=\frac{1}{3}\) un atbilstošā aritmētiskā progresija ir \(\frac{1}{3};\ \frac{2}{3};\ 1\).

Tātad vienādojuma saknes ir aritmētiskās progresijas trīs pēc kārtas ņemti locekļi, ja \(a=\frac{2}{3}\) vai \(a=\frac{1}{3}\).