Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC=\alpha\) un \(PQ\) un \(AC\) krustpunktu ar \(M\) (skat 21.att.). Četrstūra \(BPDQ\) pretējo leņķu summa ir \(\sphericalangle BPD+\sphericalangle BQD=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\), tāpēc tam var apvilkt riņķa līniju. legūstam, ka \(\sphericalangle DPQ=\sphericalangle DBQ=\alpha\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku \(DQ\). Savukārt \(\sphericalangle DAC=\sphericalangle DBC=\alpha\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka \(DC\) (riņķa, līnijā, kas apvilkta ap \(\triangle ABC)\). Tas nozīmē, ka ap četrstūri \(APMD\) var apvilkt riņķa līniju, jo \(\sphericalangle DAM=\sphericalangle DPM=\alpha\). Līdz ar to \(\sphericalangle AMD=\sphericalangle APD=90^{\circ}\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz diametra \(AD\).

Ievērojam, ka \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle ABD=\alpha\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku \(AD\). Tāpēc trijstūris \(ADC\) ir vienādsānu ar pamatu \(AC\) un \(AD=DC\). Vienādsānu trijstūrī augstums pret pamatu vienlaicīgi ir arī mediāna, tāpēc \(AM=MC\).