Atrisinājums

Novelkam nogriezni \(HK\) (skat. 20.att.). Simetrijas dēļ \(HK || AD\) un sadala četrstūri \(GHJK\) divās vienādās daļās, tas ir, \(S_{HGK}=S_{HJK}\).

Trijstūri \(AFG\) un \(KHG\) ir līdzīgi pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle AGF=\sphericalangle KGH\) kā krustleņķi un \(\sphericalangle FAG=\sphericalangle HKG\) kā iekšējie šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm \(AF\) un \(HK\).

Tā kā \(BG\) ir \(\triangle ABK\) bisektrise, tad, izmantojot bisektrises īpašību (bisektrise sadala pretējo malu tādā proporcijā, kādu veido sānu malu garumi), iegūstam \(\frac{AG}{GK}=\frac{AB}{BK}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2} AB}=\sqrt{2}\).

Līdzīgu trijstūru laukumu attiecība ir vienāda ar malu attiecības kvadrātu, tāpēc \(S_{AFG}=2S_{KHG}=S_{GHJK}\).

Piezīme. Trijstūru līdzības koeficientu var atrast arī pamatojot, ka \(AF=AG\), un apskatot attiecību \(\frac{AF}{GK}=\frac{1-\mbox{tg}\ \frac{\pi}{8}}{\mbox{tg}\ \frac{\pi}{8}}\) un, izmantojot formulu \(\mbox{tg}\ 2 \alpha=\frac{\mbox{tg}\ \alpha}{1-\mbox{tg}\^{2} \alpha}\), aprēķināt vērtību \(\mbox{tg}\ \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).