Vai var atrast tādus naturālus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=\underbrace{1111 \ldots 1}_{2016}\) ?
Apskatām doto vienādojumu pēc moduļa \(8\). Viegli pārbaudīt, ka veselu skaitļu kvadrāti, dalot ar \(8\), var dot tikai atlikumus \(0\), \(1\) vai \(4\).
| \({a}(\bmod 8)\) | \({a}^{2}(\bmod 8)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(1\) |
| \(4\) | \(0\) |
| \(5\) | \(1\) |
| \(6\) | \(4\) |
| \(7\) | \(1\) |
Tā kā vienādojuma labajā pusē ir nepāra skaitlis, tad vai nu vienam, vai trim no kreisās puses saskaitāmajiem jādod nepāra atlikums. Līdz ar to iespējamās vērtības ir \(0+0+1 \equiv 1(\bmod 8) ; 4+4+1 \equiv 1(\bmod 8)\); \(0+4+1 \equiv 5(\bmod 8)\) vai \(1+1+1 \equiv 3(\bmod 8)\).
Tā kā \(\underbrace{1111 \ldots 1}_{2016} \equiv \underbrace{1111 \ldots 1}_{2013} 000+111 \equiv 0+7 \equiv 7(\bmod 8)\), tad nevar atrast tādus naturālus skaitļus \(x, y\) un \(z\), lai dotā vienādība būtu patiesa.