Atrisinājums

Lai pierādītu prasīto, pamatosim, ka pozitīviem skaitļiem ir spēkā \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}\). Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\(\left.\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \right\rvert\, \cdot xy(x+y) > 0 \Rightarrow xy+y^{2}+x^{2}+xy \geq 4xy \Rightarrow x^{2}-2xy+y^{2} \geq 0 \Rightarrow(x-y)^{2} \geq 0\).

Tā kā iegūta patiesa nevienādība, tad arī \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}\) ir patiesa. Izmantojot šo nevienādību trīs reizes, iegūst prasīto: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geq\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}\right)+\frac{16}{d} \geq \frac{16}{a+b+c}+\frac{16}{d} \geq \frac{64}{a+b+c+d}\).