Atrisinājums

Uzzīmējam funkcijas \(y=|x-3|+2\) grafiku (skat. A25.att.).

Tā kā funkcijas grafiks ir simetrisks pret taisni \(x=3\), tad punkta \(P\) abscisa ir mazāka nekā \(3\) (t. i., punkts \(P\) atradīsies uz tās grafika daļas, ko nosaka funkcija \(y=-x+5\) ). Punkta \(P\) koordinātas apzīmējam ar \((x; y)\). Tātad jānosaka izteiksmes \(x^{2}+y^{2}\) vismazākā vērtība:

\[x^{2}+y^{2}=x^{2}+(-x+5)^{2}=2x^{2}-10x+25\]

Funkcijas \(f(x)=2x^{2}-10x+25\) grafiks ir parabola ar zaru vērsumu uz augšu. Parabolas virsotnes abscisa \(x_{0}=\frac{10}{4}=2,5\) ir punkts, kurā funkcija sasniedz vismazāko vērtību. Tad \(y_{0}=-x_{0}+5=2,5\) un punkta \(P\) koordinātas ir \((2,5; 2,5)\).