Atrisinājums

Apzīmējam \(t=\sin x+\cos x\). Tad

\[t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2}x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2}x=1+2 \sin x \cos x=1+\sin 2x\]

Tā kā \(\sin 2x \leq 1\), tad \(t^{2}=1+\sin 2x \leq 2\). Līdz ar to \(t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\). Izmantojot apzīmējumus, pārrakstām doto funkciju: \(F(t)=8t-6\left(t^{2}-1\right)=-6t^{2}+8t+6\). Funkcijas \(F(t)\) grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz leju, tāpēc tās vislielākā vērtība ir parabolas virsotnē: \(t_{0}=\frac{-8}{2 \cdot(-6)}=\frac{2}{3} \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) un \(F\left(t_{0}\right)=-6 \cdot \frac{4}{9}+8 \cdot \frac{2}{3}+6=\frac{26}{3}\). Minimālā vērtība ir vienā no intervāla \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) galapunktiem: \(F(-\sqrt{2})=-12-8 \sqrt{2}+6=-6-8 \sqrt{2}\) vai \(F(\sqrt{2})=-12+8 \sqrt{2}+6=-6+8 \sqrt{2}\). Tātad dotās funkcijas mazākā vērtība ir \((-6-8 \sqrt{2})\) un lielākā vērtība ir \(\frac{26}{3}\).