Atrisinājums

Apzīmēsim \(\sphericalangle BAC=\alpha, \sphericalangle BCA=\beta\), tad \(\alpha+\beta=90^{\circ}\) (skat. A15.zīm.). No \(AC || PQ\) seko, ka \(\sphericalangle BQP=\sphericalangle BCA=\beta\). Tā kā \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\) un \(M\) ir hipotenūzas \(AC\) viduspunkts, tad \(\sphericalangle ABM=\sphericalangle BAM=\alpha\). Tad \(\sphericalangle PQM=\sphericalangle PBM=\alpha\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu loku. Līdz ar to \(\sphericalangle BQM=\sphericalangle PQM+\sphericalangle BQP=\alpha+\beta=90^{\circ}\).

Tādā gadījumā \(\sphericalangle BNM=180^{\circ}-\sphericalangle BQM=90^{\circ}\) kā pretējie leņķi. Bet no dotā \(AN=NM\), tāpēc \(BN\) ir mediāna un augstums \(\triangle ABM\), tāpēc \(AB=BM\). Savukārt no \(\sphericalangle ABM=\sphericalangle BAM\) seko, ka \(BM=AM\). Līdz ar to \(\triangle ABM\) ir regulārs un \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BAM=60^{\circ}\).