Atrisinājums

Apzīmēsim \(\triangle AMQ\) un \(\triangle APN\) apvilkto riņķa līniju krustošanās punktu ar \(X\) (skat. A24.zīm.). Lai pierādītu, ka \(X\) atrodas uz nogriežņa \(QN\), pietiek parādīt, ka \(\sphericalangle AXQ+\sphericalangle AXN=180^{\circ}\).

\(\sphericalangle APN=\sphericalangle ABC\), jo \(MN || BC\). Savukārt \(\sphericalangle AXN=\sphericalangle APN\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu loku. Kā ievilktie leņķi ir vienādi arī \(\sphericalangle AMC=\sphericalangle ABC\). Bet tā kā \(A, M, Q, X\) atrodas uz riņka līnijas, tad \(\sphericalangle AXQ=180^{\circ}-\sphericalangle AMC\). Ieguvām, ka \(\sphericalangle AXN=\sphericalangle ABC\) un \(\sphericalangle AXQ=180^{\circ}-\sphericalangle ABC\). To summa ir vienāda ar \(180^{\circ}\), kas arī bija jāpierāda.