Atrisinājums

Pieņemsim pretējo, ka \(ABCD\) nav kvadrāts. Attēlosim punktu \(C\) simetriski pret taisni \(BD\) punktā \(C^{\prime}\) (skat. A20.zīm.). No pieņēmuma seko, ka \(A\) nesakrīt ar \(C^{\prime}\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle BAD=90^{\circ}\) un simetrijas dēļ \(\sphericalangle BC^{\prime} D=\sphericalangle BCD=90^{\circ}\). Tāpēc \(\sphericalangle BAD=\sphericalangle BC^{\prime} D\) un ap \(C^{\prime} ABD\) var apvilkt riņka līniju. No dotā \(\sphericalangle PAB=\sphericalangle PCB\), un no simetrijas \(\sphericalangle PAB=\sphericalangle PC^{\prime} B\). Tātad \(\sphericalangle PAB=\sphericalangle PC^{\prime} B\) un arī ap \(C^{\prime} ABP\) var apvilkt riņķa līniju. Bet caur trīs punktiem (šajā gadījumā \(C^{\prime}, A\) un \(B\) ) var novilkt tikai vienu riņķa līniju, tāpēc \(P\) sakrīt ar \(D\), kas ir pretrunā ar to, ka \(P\) ir \(BD\) iekšējais punkts. Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(ABCD\) ir kvadrāts.