LV.AMO.2012.12.2 lv
Caur trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) iekšēju punktu \(P\) novilkta taisne, kas ir paralēla \(BC\) un krusto \(\triangle ABC\) apvilkto riņķa līniju punktos \(M\) un \(N\) ( \(A, M\) un \(B\) atrodas uz riņķa līnijas tieši šādā secībā). \(MC\) krusto \(AB\) punktā \(Q\). Pierādi, ka \(NQ\) iet caur trijstūriem \(AMQ\) un \(APN\) apvilkto riņķa līniju krustpunktu.
Atrisinājums
Apzīmēsim \(\triangle AMQ\) un \(\triangle APN\) apvilkto riņķa līniju krustošanās punktu ar \(X\) (skat. 20.zīm.). Lai pierādītu, ka \(X\) atrodas uz nogriežņa \(QN\), pietiek parādīt, ka \(\sphericalangle AXQ+\sphericalangle AXN=180^{\circ}\).
\(\sphericalangle APN=\sphericalangle ABC\), jo \(MN || BC\). Savukārt \(\sphericalangle AXN=\sphericalangle APN\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu loku. Kā ievilktie leņķi ir vienādi arī \(\sphericalangle AMC=\sphericalangle ABC\). Bet tā kā \(A, M, Q, X\) atrodas uz riņķa līnijas, tad \(\sphericalangle AXQ=180^{\circ}-\sphericalangle AMC\). Ieguvām, ka \(\sphericalangle AXN=\sphericalangle ABC\) un \(\sphericalangle AXQ=180^{\circ}-\sphericalangle ABC\). To summa ir vienāda ar \(180^{\circ}\), k.b.j.
