Atrisinājums

Sākumā apskatām gadījumu, kad taisnes ir paralēlas (skat. 18.zīm.). Ievērojam, ka \(\triangle AB_{1}C_{1}\) ir vienāds ar \(\triangle A_{1}BC\), pie tam viens ir iegūts ar otrā pagriezienu par \(180^{\circ}\). Tas nozīmē, ka \(CB=B_{1}C_{1}\), pie tam punktu pāri \(B, C\) un \(C_{1}, B_{1}\) uz taisnēm izvietoti tieši šajā secībā. Tāpēc \(BC_{1}|| B_{1}C\).

Par nogriežņa \(XY\) virzītu nogriezni \(\overline{XY}\) sauksim nogriezni, kur taisnei, kurai tas pieder, ir piekārtots virziens. Ja \(\overline{XY}\) virziens sakrīt ar taisnes virzienu, tā vērtība ir \(XY\); pretējā gadījumā tā ir \(-XY\).

Ja taisnes nav paralēlas, tās krustojas kādā punktā \(O\). No Talesa teorēmas seko, ka izpildās vienādības \(\overline{OA}: \overline{OB}=\overline{OB_{1}}: \overline{OA_{1}}\) un \(\overline{OC}: \overline{OA}=\overline{OA_{1}}: \overline{OC_{1}}\). Sareizinot šīs vienādības, iegūstam \(\overline{OC}: \overline{OB}=\overline{OB_{1}}: \overline{OC_{1}}\). Tad no Talesa apgrieztās teorēmas seko, ka \(BC_{1} || B_{1}C\), k.b.j.

Piezīme. Virzītie nogriežņi tiek lietoti, lai varētu pielietot Talesa apgriezto teorēmu. Iespējams arī līdzīgs pierādījums ar parastiem nogriežņu garumiem; šajā gadījumā būtu jāšķiro vairāki punktu izvietojuma gadījumi, atkarībā no tā, kurā pusē no \(O\) uz taisnes atrodas katrs punkts.