Atrisinājums

Ievērosim, ka skaitļi tabulā ir izvietoti pa diagonālēm. Ievērosim, ka uz vienas diagonāles esošām rūtiņām rindas un kolonnas numuru summa ir konstanta, sauksim to par diagonāles invariantu. Piemēram, pirmās diagonāles (kas satur tikai skaitli \(1\)) invariants ir \(2\), otrās diagonāles (kur ierakstīti skaitļi \(2\) un \(3\)) invariants ir \(3\), utt. Diagonālēs, kam invariants ir nepāra skaitlis, skaitļu ierakstīšanas virziens ir rindu augšanas virzienā, bet diagonālēs, kam invariants ir pāra skaitlis, skaitļu ierakstīšanas virziens ir kolonnu augšanas virzienā. Katrā nākošajā diagonālē gan rūtiņu kopskaits, gan invariants ir par \(1\) lielāks nekā iepriekšējā diagonālē. Tātad rūtiņu skaits diagonālē ar invariantu \(n\) ir \(n-1\).

(A) 20. rindas 10. kolonnas rūtiņa atrodas uz diagonāles ar invariantu \(30\). Kopējais skaitļu skaits, kāds ierakstīts diagonālēs ar mazāku invariantu, ir \(1+2+\ldots+28=\frac{29 \cdot 28}{2}=406\).

Tātad skaitļi uz nākošās diagonāles ir ierakstīti kolonnu augšanas secībā un 10. kolonnā būs ierakstīts skaitlis \(\mathbf{416}\).

(B) Lai noteiktu, kurā rūtiņā ierakstīts skaitlis \(2010\), nepieciešams noteikt, kurā diagonālē tas atrodas. Tātad, jāatrod tāds \(k\), ka \(1+2+\ldots +k-2<2010 \leq 1+2+\ldots +k-1\). Šāds \(k=64\). Tātad \(2010\) atrodas uz diagonāles, kuras invariants ir \(64\). Uz iepriekšējām diagonālēm kopā atrodas \(1+2+\ldots+62=1953\) skaitļi. Skaitļi ir ierakstīti kolonnu augšanas secībā, tāpēc \(2010\) atrodas tabulas 7. rindas 57. kolonnā.