Atrisinājums

Lai pierādītu, ka \(BDFH\) ir kvadrāts, jāpierāda, ka visas tā malas ir vienādas un visi leņķi taisni (skat. 15.zīm.).

Astoņstūra iekšējo leņķu summa ir \((8-2) \cdot 180^{\circ}=1080^{\circ}\), tātad katrs leņķis ir \(1080^{\circ}:8=135^{\circ}\).

Trijstūrī \(ABC\) iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\) un \(\sphericalangle B=135^{\circ}\), tātad \(\sphericalangle BAC+\sphericalangle BCA=45^{\circ}\).

\(\sphericalangle BCA+90^{\circ}+\sphericalangle DCE=\sphericalangle C=135^{\circ}\), tātad \(\sphericalangle DCE+\sphericalangle BCA=45^{\circ}\).

Trijstūrī \(CDE\) iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\) un \(\sphericalangle D=135^{\circ}\), tātad \(\sphericalangle DCE+\sphericalangle DEC=45^{\circ}\)

No pirmajām divām vienādībām var secināt, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCE\), no pēdējām divām, ka \(\sphericalangle BCA=\sphericalangle DEC\).

Tā kā \(AC=CE\) (jo \(ACEG\) kvadrāts), \(\triangle ABC=\triangle CDE\) (\(\ell m \ell\)).

No tā seko, ka \(AB=CD\) un \(BC=DE\) (vienādos trijstūros atbilstošie elementi ir vienādi).

Tātad \(\triangle ABC=\triangle DCB\ (m \ell m):\ BC\) - kopīgā mala, \(AB=DC\) un \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=135^{\circ}\). No tā seko, ka \(AC=BD\) kā vienādu trijstūru atbilstošie elementi.

Līdzīgi pierāda, ka \(CE=DF,\ EG=FH,\ GA=HB\), tātad \(BD=DF=FH=HB\), jo \(AC=CE=EG=GA\) kā kvadrāta \(ACEG\) malas. Tātad četrstūris \(BDFH\) ir rombs. Lai pierādītu, ka tas ir arī kvadrāts, pietiek pierādīt, ka viens no tā leņķiem ir taisns.

\(\triangle BCD=\triangle DEF\) (\(mmm\)), jo \(BC=DE,\ BD=DF\) (iepriekš pierādīts) un \(CD=EF\) (pierāda līdzīgi, kā \(AB=CD\)). Tātad \(\sphericalangle EDF=\sphericalangle CBD\) (kā atbilstošie leņķi vienādos trijstūros).

\(\sphericalangle BDF=135^{\circ}-\sphericalangle CDB-\sphericalangle EDF=135^{\circ}-\sphericalangle CDB-\sphericalangle CBD=135^{\circ}-\left(180^{\circ}-135^{\circ}\right)=90^{\circ}\), k.b.j.