LV.AMO.2010.5.4 lv
Vairāki domino kauliņi ir salikti rindā viens aiz otra tā, ka katri divi viens otram sekojoši kauliņi saskaras ar pusēm, uz kurām attēlots vienāds punktu skaits
3.zīmējumā parādītā rūtiņu virkne attēlo iegūtās domino kauliņu rindas fragmentu: katra rūtiņa atbilst domino kauliņa vienai pusei, bet nav iezīmētas kauliņu robežas.
Nosaki, vai punktu skaits rūtiņā " \(A\) " var būt vienāds ar punktu skaitu (A) rūtiņā " \(B\) ", (B) rūtiņā " \(C\) "!
(Domino kauliņu komplekts sastāv no \(28\) kauliņiem. Katrs kauliņš sastāv no divām kvadrātveida pusēm, uz kurām attēloti punkti - uz katras puses attēloto punktu skaits ir no \(0\) līdz \(6\). Katram iespējamam punktu daudzumu pārim komplektā ir tieši viens kauliņš.)
Atrisinājums
(A) Pieņemsim, ka var gadīties, ka rūtiņās \(A\) un \(B\) ir vienāds punktu skaits, apzīmēsim to ar \(a\). Tā kā dotajā kauliņu virknes fragmentā nav iezīmētas kauliņu robežas, tad iespējami divi gadījumi:
1)
Tā kā \(B\) un \(C\) ir dažādu kauliņu pusēs, kas saskaras, tad punktu skaitam šajās pusēs jāsakrīt, arī punktu skaitam kauliņa pusē, kas saskaras ar \(A\), jābūt tādam pašam kā rūtiņā \(A\), tātad arī \(a\). Iegūstam 5.zīm. attēloto situāciju:
Rūtiņās \(X\) un \(Y\) punktu skaitam jābūt vienādam, tātad abiem vidējiem kauliņiem jābūt vienādiem, bet tā nevar būt. Iegūta pretruna, tāpēc pie šāda kauliņu robežu ievietojuma nevar gadīties, ka \(A\) un \(B\) rūtiņās ir vienāds punktu skaits.
2)
Rūtiņai \(B\) blakusesošajā rūtiņā arī jābūt \(a\) punktiem, skat. 7.zīm.
Līdzīgi kā 1) gadījumā iegūstam, ka arī šajā gadījumā jābūt diviem vienādiem kauliņiem, kas nav iespējams, tātad arī pie šāda kauliņu robežu ievietojuma rūtiņā \(A\) nevar būt tāds pats punktu skaits kā rūtiņā \(B\).
Ir apskatītas visas iespējas, kā varētu būt izvietotas kauliņu robežas, tātad nekad nevar gadīties, ka rūtiņās \(A\) un \(B\) ir vienāds punktu skaits.
(B) Punktu skaits rūtiņās \(A\) un \(C\) var būt vienāds, skat. piem., 8zīm.
